\(\int \frac {\cos ^4(c+d x)}{(a \cos (c+d x)+b \sin (c+d x))^2} \, dx\) [122]

Optimal result

Integrand size = 28, antiderivative size = 145 \[ \int \frac {\cos ^4(c+d x)}{(a \cos (c+d x)+b \sin (c+d x))^2} \, dx=\frac {\left (a^4+6 a^2 b^2-3 b^4\right ) x}{2 \left (a^2+b^2\right )^3}+\frac {b^4}{a \left (a^2+b^2\right )^2 d (b+a \cot (c+d x))}+\frac {4 a b^3 \log (a \cos (c+d x)+b \sin (c+d x))}{\left (a^2+b^2\right )^3 d}-\frac {\left (2 a b-\left (a^2-b^2\right ) \cot (c+d x)\right ) \sin ^2(c+d x)}{2 \left (a^2+b^2\right )^2 d} \]

[Out]

1/2*(a^4+6*a^2*b^2-3*b^4)*x/(a^2+b^2)^3+b^4/a/(a^2+b^2)^2/d/(b+a*cot(d*x+c))+4*a*b^3*ln(a*cos(d*x+c)+b*sin(d*x
+c))/(a^2+b^2)^3/d-1/2*(2*a*b-(a^2-b^2)*cot(d*x+c))*sin(d*x+c)^2/(a^2+b^2)^2/d

Rubi [A] (verified)

Time = 0.37 (sec) , antiderivative size = 145, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 7, number of rules used = 6, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.214, Rules used = {3167, 1661, 1643, 649, 209, 266} \[ \int \frac {\cos ^4(c+d x)}{(a \cos (c+d x)+b \sin (c+d x))^2} \, dx=-\frac {\sin ^2(c+d x) \left (2 a b-\left (a^2-b^2\right ) \cot (c+d x)\right )}{2 d \left (a^2+b^2\right )^2}+\frac {b^4}{a d \left (a^2+b^2\right )^2 (a \cot (c+d x)+b)}+\frac {4 a b^3 \log (a \cos (c+d x)+b \sin (c+d x))}{d \left (a^2+b^2\right )^3}+\frac {x \left (a^4+6 a^2 b^2-3 b^4\right )}{2 \left (a^2+b^2\right )^3} \]

[In]

Int[Cos[c + d*x]^4/(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^2,x]

[Out]

((a^4 + 6*a^2*b^2 - 3*b^4)*x)/(2*(a^2 + b^2)^3) + b^4/(a*(a^2 + b^2)^2*d*(b + a*Cot[c + d*x])) + (4*a*b^3*Log[
a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x]])/((a^2 + b^2)^3*d) - ((2*a*b - (a^2 - b^2)*Cot[c + d*x])*Sin[c + d*x]^2)/(2*(
a^2 + b^2)^2*d)

Rule 209

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(1/(Rt[a, 2]*Rt[b, 2]))*ArcTan[Rt[b, 2]*(x/Rt[a, 2])], x] /;
FreeQ[{a, b}, x] && PosQ[a/b] && (GtQ[a, 0] || GtQ[b, 0])

Rule 266

Int[(x_)^(m_.)/((a_) + (b_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Simp[Log[RemoveContent[a + b*x^n, x]]/(b*n), x] /; FreeQ
[{a, b, m, n}, x] && EqQ[m, n - 1]

Rule 649

Int[((d_) + (e_.)*(x_))/((a_) + (c_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Dist[d, Int[1/(a + c*x^2), x], x] + Dist[e, Int[x/
(a + c*x^2), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e}, x] &&  !NiceSqrtQ[(-a)*c]

Rule 1643

Int[(Pq_)*((d_) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(d + e*x)^m*
Pq*(a + c*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, m}, x] && PolyQ[Pq, x] && IGtQ[p, -2]

Rule 1661

Int[(Pq_)*((d_) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{Q = PolynomialQuotient[(d +
e*x)^m*Pq, a + c*x^2, x], f = Coeff[PolynomialRemainder[(d + e*x)^m*Pq, a + c*x^2, x], x, 0], g = Coeff[Polyn
omialRemainder[(d + e*x)^m*Pq, a + c*x^2, x], x, 1]}, Simp[(a*g - c*f*x)*((a + c*x^2)^(p + 1)/(2*a*c*(p + 1)))
, x] + Dist[1/(2*a*c*(p + 1)), Int[(d + e*x)^m*(a + c*x^2)^(p + 1)*ExpandToSum[(2*a*c*(p + 1)*Q)/(d + e*x)^m +
(c*f*(2*p + 3))/(d + e*x)^m, x], x], x]] /; FreeQ[{a, c, d, e}, x] && PolyQ[Pq, x] && NeQ[c*d^2 + a*e^2, 0] &
& LtQ[p, -1] && ILtQ[m, 0]

Rule 3167

Int[cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(m_.)*(cos[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(a_.) + (b_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(n_), x_Symb
ol] :> Dist[-d^(-1), Subst[Int[x^m*((b + a*x)^n/(1 + x^2)^((m + n + 2)/2)), x], x, Cot[c + d*x]], x] /; FreeQ[
{a, b, c, d}, x] && IntegerQ[n] && IntegerQ[(m + n)/2] && NeQ[n, -1] &&  !(GtQ[n, 0] && GtQ[m, 1])

Rubi steps \begin{align*} \text {integral}& = -\frac {\text {Subst}\left (\int \frac {x^4}{(b+a x)^2 \left (1+x^2\right )^2} \, dx,x,\cot (c+d x)\right )}{d} \\ & = -\frac {\left (2 a b-\left (a^2-b^2\right ) \cot (c+d x)\right ) \sin ^2(c+d x)}{2 \left (a^2+b^2\right )^2 d}+\frac {\text {Subst}\left (\int \frac {-\frac {b^2 \left (a^2-b^2\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2}-\frac {2 a b x}{a^2+b^2}-\frac {\left (a^4+5 a^2 b^2+2 b^4\right ) x^2}{\left (a^2+b^2\right )^2}}{(b+a x)^2 \left (1+x^2\right )} \, dx,x,\cot (c+d x)\right )}{2 d} \\ & = -\frac {\left (2 a b-\left (a^2-b^2\right ) \cot (c+d x)\right ) \sin ^2(c+d x)}{2 \left (a^2+b^2\right )^2 d}+\frac {\text {Subst}\left (\int \left (-\frac {2 b^4}{\left (a^2+b^2\right )^2 (b+a x)^2}+\frac {8 a^2 b^3}{\left (a^2+b^2\right )^3 (b+a x)}+\frac {-a^4-6 a^2 b^2+3 b^4-8 a b^3 x}{\left (a^2+b^2\right )^3 \left (1+x^2\right )}\right ) \, dx,x,\cot (c+d x)\right )}{2 d} \\ & = \frac {b^4}{a \left (a^2+b^2\right )^2 d (b+a \cot (c+d x))}+\frac {4 a b^3 \log (b+a \cot (c+d x))}{\left (a^2+b^2\right )^3 d}-\frac {\left (2 a b-\left (a^2-b^2\right ) \cot (c+d x)\right ) \sin ^2(c+d x)}{2 \left (a^2+b^2\right )^2 d}+\frac {\text {Subst}\left (\int \frac {-a^4-6 a^2 b^2+3 b^4-8 a b^3 x}{1+x^2} \, dx,x,\cot (c+d x)\right )}{2 \left (a^2+b^2\right )^3 d} \\ & = \frac {b^4}{a \left (a^2+b^2\right )^2 d (b+a \cot (c+d x))}+\frac {4 a b^3 \log (b+a \cot (c+d x))}{\left (a^2+b^2\right )^3 d}-\frac {\left (2 a b-\left (a^2-b^2\right ) \cot (c+d x)\right ) \sin ^2(c+d x)}{2 \left (a^2+b^2\right )^2 d}-\frac {\left (4 a b^3\right ) \text {Subst}\left (\int \frac {x}{1+x^2} \, dx,x,\cot (c+d x)\right )}{\left (a^2+b^2\right )^3 d}-\frac {\left (a^4+6 a^2 b^2-3 b^4\right ) \text {Subst}\left (\int \frac {1}{1+x^2} \, dx,x,\cot (c+d x)\right )}{2 \left (a^2+b^2\right )^3 d} \\ & = \frac {\left (a^4+6 a^2 b^2-3 b^4\right ) x}{2 \left (a^2+b^2\right )^3}+\frac {b^4}{a \left (a^2+b^2\right )^2 d (b+a \cot (c+d x))}+\frac {4 a b^3 \log (b+a \cot (c+d x))}{\left (a^2+b^2\right )^3 d}+\frac {4 a b^3 \log (\sin (c+d x))}{\left (a^2+b^2\right )^3 d}-\frac {\left (2 a b-\left (a^2-b^2\right ) \cot (c+d x)\right ) \sin ^2(c+d x)}{2 \left (a^2+b^2\right )^2 d} \\ \end{align*}

Mathematica [A] (verified)

Time = 1.60 (sec) , antiderivative size = 149, normalized size of antiderivative = 1.03 \[ \int \frac {\cos ^4(c+d x)}{(a \cos (c+d x)+b \sin (c+d x))^2} \, dx=\frac {2 \left (a^4+6 a^2 b^2-3 b^4\right ) (c+d x)+2 a b \left (a^2+b^2\right ) \cos (2 (c+d x))+16 a b^3 \log (a \cos (c+d x)+b \sin (c+d x))+\frac {4 b^4 \left (a^2+b^2\right ) \sin (c+d x)}{a (a \cos (c+d x)+b \sin (c+d x))}+\left (a^2-b^2\right ) \left (a^2+b^2\right ) \sin (2 (c+d x))}{4 \left (a^2+b^2\right )^3 d} \]

[In]

Integrate[Cos[c + d*x]^4/(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])^2,x]

[Out]

(2*(a^4 + 6*a^2*b^2 - 3*b^4)*(c + d*x) + 2*a*b*(a^2 + b^2)*Cos[2*(c + d*x)] + 16*a*b^3*Log[a*Cos[c + d*x] + b*
Sin[c + d*x]] + (4*b^4*(a^2 + b^2)*Sin[c + d*x])/(a*(a*Cos[c + d*x] + b*Sin[c + d*x])) + (a^2 - b^2)*(a^2 + b^
2)*Sin[2*(c + d*x)])/(4*(a^2 + b^2)^3*d)

Maple [A] (verified)

Time = 1.04 (sec) , antiderivative size = 154, normalized size of antiderivative = 1.06

method	result	size
derivativedivides	\(\frac {\frac {\frac {\left (\frac {a^{4}}{2}-\frac {b^{4}}{2}\right ) \tan \left (d x +c \right )+a^{3} b +a \,b^{3}}{1+\tan \left (d x +c \right )^{2}}-2 a \,b^{3} \ln \left (1+\tan \left (d x +c \right )^{2}\right )+\frac {\left (a^{4}+6 a^{2} b^{2}-3 b^{4}\right ) \arctan \left (\tan \left (d x +c \right )\right )}{2}}{\left (a^{2}+b^{2}\right )^{3}}-\frac {b^{3}}{\left (a^{2}+b^{2}\right )^{2} \left (a +b \tan \left (d x +c \right )\right )}+\frac {4 b^{3} a \ln \left (a +b \tan \left (d x +c \right )\right )}{\left (a^{2}+b^{2}\right )^{3}}}{d}\)	\(154\)
default	\(\frac {\frac {\frac {\left (\frac {a^{4}}{2}-\frac {b^{4}}{2}\right ) \tan \left (d x +c \right )+a^{3} b +a \,b^{3}}{1+\tan \left (d x +c \right )^{2}}-2 a \,b^{3} \ln \left (1+\tan \left (d x +c \right )^{2}\right )+\frac {\left (a^{4}+6 a^{2} b^{2}-3 b^{4}\right ) \arctan \left (\tan \left (d x +c \right )\right )}{2}}{\left (a^{2}+b^{2}\right )^{3}}-\frac {b^{3}}{\left (a^{2}+b^{2}\right )^{2} \left (a +b \tan \left (d x +c \right )\right )}+\frac {4 b^{3} a \ln \left (a +b \tan \left (d x +c \right )\right )}{\left (a^{2}+b^{2}\right )^{3}}}{d}\)	\(154\)
parallelrisch	\(\frac {32 \left (a^{3} b^{3} \cos \left (d x +c \right )+a^{2} b^{4} \sin \left (d x +c \right )\right ) \ln \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )^{2} a -2 b \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )-a \right )+32 \left (-a^{3} b^{3} \cos \left (d x +c \right )-a^{2} b^{4} \sin \left (d x +c \right )\right ) \ln \left (\sec \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )^{2}\right )+b a \left (a^{2}+b^{2}\right )^{2} \cos \left (3 d x +3 c \right )+a^{2} \left (a^{2}+b^{2}\right )^{2} \sin \left (3 d x +3 c \right )+\left (4 a^{5} b d x +24 a^{3} b^{3} d x -12 a \,b^{5} d x +a^{6}-6 a^{4} b^{2}+a^{2} b^{4}+8 b^{6}\right ) \sin \left (d x +c \right )+4 a \cos \left (d x +c \right ) \left (a^{5} d x +6 a^{3} b^{2} d x -3 a \,b^{4} d x -\frac {1}{4} a^{4} b -\frac {1}{2} a^{2} b^{3}-\frac {1}{4} b^{5}\right )}{8 \left (a^{2}+b^{2}\right )^{3} a d \left (\cos \left (d x +c \right ) a +b \sin \left (d x +c \right )\right )}\)	\(293\)
risch	\(\frac {3 i x b}{6 i b \,a^{2}-2 i b^{3}-2 a^{3}+6 a \,b^{2}}-\frac {x a}{6 i b \,a^{2}-2 i b^{3}-2 a^{3}+6 a \,b^{2}}-\frac {i {\mathrm e}^{2 i \left (d x +c \right )}}{8 \left (-2 i b a +a^{2}-b^{2}\right ) d}+\frac {i {\mathrm e}^{-2 i \left (d x +c \right )}}{8 \left (2 i b a +a^{2}-b^{2}\right ) d}-\frac {8 i a \,b^{3} x}{a^{6}+3 a^{4} b^{2}+3 a^{2} b^{4}+b^{6}}-\frac {8 i a \,b^{3} c}{d \left (a^{6}+3 a^{4} b^{2}+3 a^{2} b^{4}+b^{6}\right )}-\frac {2 i b^{4}}{\left (-i a +b \right )^{2} d \left (i a +b \right )^{3} \left (b \,{\mathrm e}^{2 i \left (d x +c \right )}+i a \,{\mathrm e}^{2 i \left (d x +c \right )}-b +i a \right )}+\frac {4 a \,b^{3} \ln \left ({\mathrm e}^{2 i \left (d x +c \right )}-\frac {i b +a}{i b -a}\right )}{d \left (a^{6}+3 a^{4} b^{2}+3 a^{2} b^{4}+b^{6}\right )}\)	\(318\)
norman	\(\text {Expression too large to display}\)	\(1132\)

[In]

int(cos(d*x+c)^4/(cos(d*x+c)*a+b*sin(d*x+c))^2,x,method=_RETURNVERBOSE)

[Out]

1/d*(1/(a^2+b^2)^3*(((1/2*a^4-1/2*b^4)*tan(d*x+c)+a^3*b+a*b^3)/(1+tan(d*x+c)^2)-2*a*b^3*ln(1+tan(d*x+c)^2)+1/2
*(a^4+6*a^2*b^2-3*b^4)*arctan(tan(d*x+c)))-b^3/(a^2+b^2)^2/(a+b*tan(d*x+c))+4*b^3/(a^2+b^2)^3*a*ln(a+b*tan(d*x
+c)))

Fricas [A] (verification not implemented)

none

Time = 0.28 (sec) , antiderivative size = 279, normalized size of antiderivative = 1.92 \[ \int \frac {\cos ^4(c+d x)}{(a \cos (c+d x)+b \sin (c+d x))^2} \, dx=\frac {{\left (a^{4} b + 2 \, a^{2} b^{3} + b^{5}\right )} \cos \left (d x + c\right )^{3} - {\left (a^{2} b^{3} + 3 \, b^{5} - {\left (a^{5} + 6 \, a^{3} b^{2} - 3 \, a b^{4}\right )} d x\right )} \cos \left (d x + c\right ) + 4 \, {\left (a^{2} b^{3} \cos \left (d x + c\right ) + a b^{4} \sin \left (d x + c\right )\right )} \log \left (2 \, a b \cos \left (d x + c\right ) \sin \left (d x + c\right ) + {\left (a^{2} - b^{2}\right )} \cos \left (d x + c\right )^{2} + b^{2}\right ) - {\left (a^{3} b^{2} - a b^{4} - {\left (a^{4} b + 6 \, a^{2} b^{3} - 3 \, b^{5}\right )} d x - {\left (a^{5} + 2 \, a^{3} b^{2} + a b^{4}\right )} \cos \left (d x + c\right )^{2}\right )} \sin \left (d x + c\right )}{2 \, {\left ({\left (a^{7} + 3 \, a^{5} b^{2} + 3 \, a^{3} b^{4} + a b^{6}\right )} d \cos \left (d x + c\right ) + {\left (a^{6} b + 3 \, a^{4} b^{3} + 3 \, a^{2} b^{5} + b^{7}\right )} d \sin \left (d x + c\right )\right )}} \]

[In]

integrate(cos(d*x+c)^4/(a*cos(d*x+c)+b*sin(d*x+c))^2,x, algorithm="fricas")

[Out]

1/2*((a^4*b + 2*a^2*b^3 + b^5)*cos(d*x + c)^3 - (a^2*b^3 + 3*b^5 - (a^5 + 6*a^3*b^2 - 3*a*b^4)*d*x)*cos(d*x +
c) + 4*(a^2*b^3*cos(d*x + c) + a*b^4*sin(d*x + c))*log(2*a*b*cos(d*x + c)*sin(d*x + c) + (a^2 - b^2)*cos(d*x +
c)^2 + b^2) - (a^3*b^2 - a*b^4 - (a^4*b + 6*a^2*b^3 - 3*b^5)*d*x - (a^5 + 2*a^3*b^2 + a*b^4)*cos(d*x + c)^2)*
sin(d*x + c))/((a^7 + 3*a^5*b^2 + 3*a^3*b^4 + a*b^6)*d*cos(d*x + c) + (a^6*b + 3*a^4*b^3 + 3*a^2*b^5 + b^7)*d*
sin(d*x + c))

Sympy [F(-1)]

Timed out. \[ \int \frac {\cos ^4(c+d x)}{(a \cos (c+d x)+b \sin (c+d x))^2} \, dx=\text {Timed out} \]

[In]

integrate(cos(d*x+c)**4/(a*cos(d*x+c)+b*sin(d*x+c))**2,x)

[Out]

Timed out

Maxima [A] (verification not implemented)

none

Time = 0.35 (sec) , antiderivative size = 282, normalized size of antiderivative = 1.94 \[ \int \frac {\cos ^4(c+d x)}{(a \cos (c+d x)+b \sin (c+d x))^2} \, dx=\frac {\frac {8 \, a b^{3} \log \left (b \tan \left (d x + c\right ) + a\right )}{a^{6} + 3 \, a^{4} b^{2} + 3 \, a^{2} b^{4} + b^{6}} - \frac {4 \, a b^{3} \log \left (\tan \left (d x + c\right )^{2} + 1\right )}{a^{6} + 3 \, a^{4} b^{2} + 3 \, a^{2} b^{4} + b^{6}} + \frac {{\left (a^{4} + 6 \, a^{2} b^{2} - 3 \, b^{4}\right )} {\left (d x + c\right )}}{a^{6} + 3 \, a^{4} b^{2} + 3 \, a^{2} b^{4} + b^{6}} + \frac {2 \, a^{2} b - 2 \, b^{3} + {\left (a^{2} b - 3 \, b^{3}\right )} \tan \left (d x + c\right )^{2} + {\left (a^{3} + a b^{2}\right )} \tan \left (d x + c\right )}{a^{5} + 2 \, a^{3} b^{2} + a b^{4} + {\left (a^{4} b + 2 \, a^{2} b^{3} + b^{5}\right )} \tan \left (d x + c\right )^{3} + {\left (a^{5} + 2 \, a^{3} b^{2} + a b^{4}\right )} \tan \left (d x + c\right )^{2} + {\left (a^{4} b + 2 \, a^{2} b^{3} + b^{5}\right )} \tan \left (d x + c\right )}}{2 \, d} \]

[In]

integrate(cos(d*x+c)^4/(a*cos(d*x+c)+b*sin(d*x+c))^2,x, algorithm="maxima")

[Out]

1/2*(8*a*b^3*log(b*tan(d*x + c) + a)/(a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6) - 4*a*b^3*log(tan(d*x + c)^2 + 1)/(a^
6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6) + (a^4 + 6*a^2*b^2 - 3*b^4)*(d*x + c)/(a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6) + (
2*a^2*b - 2*b^3 + (a^2*b - 3*b^3)*tan(d*x + c)^2 + (a^3 + a*b^2)*tan(d*x + c))/(a^5 + 2*a^3*b^2 + a*b^4 + (a^4
*b + 2*a^2*b^3 + b^5)*tan(d*x + c)^3 + (a^5 + 2*a^3*b^2 + a*b^4)*tan(d*x + c)^2 + (a^4*b + 2*a^2*b^3 + b^5)*ta
n(d*x + c)))/d

Giac [A] (verification not implemented)

none

Time = 0.32 (sec) , antiderivative size = 250, normalized size of antiderivative = 1.72 \[ \int \frac {\cos ^4(c+d x)}{(a \cos (c+d x)+b \sin (c+d x))^2} \, dx=\frac {\frac {8 \, a b^{4} \log \left ({\left | b \tan \left (d x + c\right ) + a \right |}\right )}{a^{6} b + 3 \, a^{4} b^{3} + 3 \, a^{2} b^{5} + b^{7}} - \frac {4 \, a b^{3} \log \left (\tan \left (d x + c\right )^{2} + 1\right )}{a^{6} + 3 \, a^{4} b^{2} + 3 \, a^{2} b^{4} + b^{6}} + \frac {{\left (a^{4} + 6 \, a^{2} b^{2} - 3 \, b^{4}\right )} {\left (d x + c\right )}}{a^{6} + 3 \, a^{4} b^{2} + 3 \, a^{2} b^{4} + b^{6}} + \frac {a^{2} b \tan \left (d x + c\right )^{2} - 3 \, b^{3} \tan \left (d x + c\right )^{2} + a^{3} \tan \left (d x + c\right ) + a b^{2} \tan \left (d x + c\right ) + 2 \, a^{2} b - 2 \, b^{3}}{{\left (a^{4} + 2 \, a^{2} b^{2} + b^{4}\right )} {\left (b \tan \left (d x + c\right )^{3} + a \tan \left (d x + c\right )^{2} + b \tan \left (d x + c\right ) + a\right )}}}{2 \, d} \]

[In]

integrate(cos(d*x+c)^4/(a*cos(d*x+c)+b*sin(d*x+c))^2,x, algorithm="giac")

[Out]

1/2*(8*a*b^4*log(abs(b*tan(d*x + c) + a))/(a^6*b + 3*a^4*b^3 + 3*a^2*b^5 + b^7) - 4*a*b^3*log(tan(d*x + c)^2 +
1)/(a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6) + (a^4 + 6*a^2*b^2 - 3*b^4)*(d*x + c)/(a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b
^6) + (a^2*b*tan(d*x + c)^2 - 3*b^3*tan(d*x + c)^2 + a^3*tan(d*x + c) + a*b^2*tan(d*x + c) + 2*a^2*b - 2*b^3)/
((a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*(b*tan(d*x + c)^3 + a*tan(d*x + c)^2 + b*tan(d*x + c) + a)))/d

Mupad [B] (verification not implemented)

Time = 36.48 (sec) , antiderivative size = 6604, normalized size of antiderivative = 45.54 \[ \int \frac {\cos ^4(c+d x)}{(a \cos (c+d x)+b \sin (c+d x))^2} \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

int(cos(c + d*x)^4/(a*cos(c + d*x) + b*sin(c + d*x))^2,x)

[Out]

((2*b*tan(c/2 + (d*x)/2)^4)/(a^2 + b^2) - (2*b*tan(c/2 + (d*x)/2)^2)/(a^2 + b^2) + (tan(c/2 + (d*x)/2)*(a^4 +
2*b^4 - a^2*b^2))/(a*(a^2 + b^2)^2) + (tan(c/2 + (d*x)/2)^5*(a^4 + 2*b^4 - a^2*b^2))/(a*(a^4 + b^4 + 2*a^2*b^2
)) - (2*tan(c/2 + (d*x)/2)^3*(a^4 - 2*b^4 + 3*a^2*b^2))/(a*(a^2 + b^2)^2))/(d*(a + 2*b*tan(c/2 + (d*x)/2) + a*
tan(c/2 + (d*x)/2)^2 - a*tan(c/2 + (d*x)/2)^4 - a*tan(c/2 + (d*x)/2)^6 + 4*b*tan(c/2 + (d*x)/2)^3 + 2*b*tan(c/
2 + (d*x)/2)^5)) - (atan((tan(c/2 + (d*x)/2)*(((((a^4 - 3*b^4 + 6*a^2*b^2)^3*(12*a*b^16 + 84*a^3*b^14 + 252*a^
5*b^12 + 420*a^7*b^10 + 420*a^9*b^8 + 252*a^11*b^6 + 84*a^13*b^4 + 12*a^15*b^2))/((a^6 + b^6 + 3*a^2*b^4 + 3*a
^4*b^2)^3*(a^12 + b^12 + 6*a^2*b^10 + 15*a^4*b^8 + 20*a^6*b^6 + 15*a^8*b^4 + 6*a^10*b^2)) - (((8*(18*a*b^12 +
a^13 - 141*a^3*b^10 - 327*a^5*b^8 - 146*a^7*b^6 + 36*a^9*b^4 + 15*a^11*b^2))/(a^12 + b^12 + 6*a^2*b^10 + 15*a^
4*b^8 + 20*a^6*b^6 + 15*a^8*b^4 + 6*a^10*b^2) - (16*a*b^3*((8*(4*a^14*b + 4*a^2*b^13 + 72*a^4*b^11 + 252*a^6*b
^9 + 368*a^8*b^7 + 252*a^10*b^5 + 72*a^12*b^3))/(a^12 + b^12 + 6*a^2*b^10 + 15*a^4*b^8 + 20*a^6*b^6 + 15*a^8*b
^4 + 6*a^10*b^2) - (128*a*b^3*(12*a*b^16 + 84*a^3*b^14 + 252*a^5*b^12 + 420*a^7*b^10 + 420*a^9*b^8 + 252*a^11*
b^6 + 84*a^13*b^4 + 12*a^15*b^2))/((4*a^6 + 4*b^6 + 12*a^2*b^4 + 12*a^4*b^2)*(a^12 + b^12 + 6*a^2*b^10 + 15*a^
4*b^8 + 20*a^6*b^6 + 15*a^8*b^4 + 6*a^10*b^2))))/(4*a^6 + 4*b^6 + 12*a^2*b^4 + 12*a^4*b^2))*(a^4 - 3*b^4 + 6*a
^2*b^2))/(2*(a^6 + b^6 + 3*a^2*b^4 + 3*a^4*b^2)) + (16*a*b^3*((((8*(4*a^14*b + 4*a^2*b^13 + 72*a^4*b^11 + 252*
a^6*b^9 + 368*a^8*b^7 + 252*a^10*b^5 + 72*a^12*b^3))/(a^12 + b^12 + 6*a^2*b^10 + 15*a^4*b^8 + 20*a^6*b^6 + 15*
a^8*b^4 + 6*a^10*b^2) - (128*a*b^3*(12*a*b^16 + 84*a^3*b^14 + 252*a^5*b^12 + 420*a^7*b^10 + 420*a^9*b^8 + 252*
a^11*b^6 + 84*a^13*b^4 + 12*a^15*b^2))/((4*a^6 + 4*b^6 + 12*a^2*b^4 + 12*a^4*b^2)*(a^12 + b^12 + 6*a^2*b^10 +
15*a^4*b^8 + 20*a^6*b^6 + 15*a^8*b^4 + 6*a^10*b^2)))*(a^4 - 3*b^4 + 6*a^2*b^2))/(2*(a^6 + b^6 + 3*a^2*b^4 + 3*
a^4*b^2)) - (64*a*b^3*(a^4 - 3*b^4 + 6*a^2*b^2)*(12*a*b^16 + 84*a^3*b^14 + 252*a^5*b^12 + 420*a^7*b^10 + 420*a
^9*b^8 + 252*a^11*b^6 + 84*a^13*b^4 + 12*a^15*b^2))/((4*a^6 + 4*b^6 + 12*a^2*b^4 + 12*a^4*b^2)*(a^6 + b^6 + 3*
a^2*b^4 + 3*a^4*b^2)*(a^12 + b^12 + 6*a^2*b^10 + 15*a^4*b^8 + 20*a^6*b^6 + 15*a^8*b^4 + 6*a^10*b^2))))/(4*a^6
+ 4*b^6 + 12*a^2*b^4 + 12*a^4*b^2))*(a^10 - 9*b^10 + 493*a^2*b^8 - 706*a^4*b^6 - 46*a^6*b^4 + 11*a^8*b^2))/(a^
10 + 9*b^10 + 229*a^2*b^8 + 250*a^4*b^6 + 42*a^6*b^4 + 13*a^8*b^2)^2 - (2*a*b*((8*(72*a^2*b^9 + 52*a^4*b^7 + 4
8*a^6*b^5 + 4*a^8*b^3))/(a^12 + b^12 + 6*a^2*b^10 + 15*a^4*b^8 + 20*a^6*b^6 + 15*a^8*b^4 + 6*a^10*b^2) + (((((
8*(4*a^14*b + 4*a^2*b^13 + 72*a^4*b^11 + 252*a^6*b^9 + 368*a^8*b^7 + 252*a^10*b^5 + 72*a^12*b^3))/(a^12 + b^12
+ 6*a^2*b^10 + 15*a^4*b^8 + 20*a^6*b^6 + 15*a^8*b^4 + 6*a^10*b^2) - (128*a*b^3*(12*a*b^16 + 84*a^3*b^14 + 252
*a^5*b^12 + 420*a^7*b^10 + 420*a^9*b^8 + 252*a^11*b^6 + 84*a^13*b^4 + 12*a^15*b^2))/((4*a^6 + 4*b^6 + 12*a^2*b
^4 + 12*a^4*b^2)*(a^12 + b^12 + 6*a^2*b^10 + 15*a^4*b^8 + 20*a^6*b^6 + 15*a^8*b^4 + 6*a^10*b^2)))*(a^4 - 3*b^4
+ 6*a^2*b^2))/(2*(a^6 + b^6 + 3*a^2*b^4 + 3*a^4*b^2)) - (64*a*b^3*(a^4 - 3*b^4 + 6*a^2*b^2)*(12*a*b^16 + 84*a
^3*b^14 + 252*a^5*b^12 + 420*a^7*b^10 + 420*a^9*b^8 + 252*a^11*b^6 + 84*a^13*b^4 + 12*a^15*b^2))/((4*a^6 + 4*b
^6 + 12*a^2*b^4 + 12*a^4*b^2)*(a^6 + b^6 + 3*a^2*b^4 + 3*a^4*b^2)*(a^12 + b^12 + 6*a^2*b^10 + 15*a^4*b^8 + 20*
a^6*b^6 + 15*a^8*b^4 + 6*a^10*b^2)))*(a^4 - 3*b^4 + 6*a^2*b^2))/(2*(a^6 + b^6 + 3*a^2*b^4 + 3*a^4*b^2)) + (16*
a*b^3*((8*(18*a*b^12 + a^13 - 141*a^3*b^10 - 327*a^5*b^8 - 146*a^7*b^6 + 36*a^9*b^4 + 15*a^11*b^2))/(a^12 + b^
12 + 6*a^2*b^10 + 15*a^4*b^8 + 20*a^6*b^6 + 15*a^8*b^4 + 6*a^10*b^2) - (16*a*b^3*((8*(4*a^14*b + 4*a^2*b^13 +
72*a^4*b^11 + 252*a^6*b^9 + 368*a^8*b^7 + 252*a^10*b^5 + 72*a^12*b^3))/(a^12 + b^12 + 6*a^2*b^10 + 15*a^4*b^8
+ 20*a^6*b^6 + 15*a^8*b^4 + 6*a^10*b^2) - (128*a*b^3*(12*a*b^16 + 84*a^3*b^14 + 252*a^5*b^12 + 420*a^7*b^10 +
420*a^9*b^8 + 252*a^11*b^6 + 84*a^13*b^4 + 12*a^15*b^2))/((4*a^6 + 4*b^6 + 12*a^2*b^4 + 12*a^4*b^2)*(a^12 + b^
12 + 6*a^2*b^10 + 15*a^4*b^8 + 20*a^6*b^6 + 15*a^8*b^4 + 6*a^10*b^2))))/(4*a^6 + 4*b^6 + 12*a^2*b^4 + 12*a^4*b
^2)))/(4*a^6 + 4*b^6 + 12*a^2*b^4 + 12*a^4*b^2) - (32*a*b^3*(a^4 - 3*b^4 + 6*a^2*b^2)^2*(12*a*b^16 + 84*a^3*b^
14 + 252*a^5*b^12 + 420*a^7*b^10 + 420*a^9*b^8 + 252*a^11*b^6 + 84*a^13*b^4 + 12*a^15*b^2))/((4*a^6 + 4*b^6 +
12*a^2*b^4 + 12*a^4*b^2)*(a^6 + b^6 + 3*a^2*b^4 + 3*a^4*b^2)^2*(a^12 + b^12 + 6*a^2*b^10 + 15*a^4*b^8 + 20*a^6
*b^6 + 15*a^8*b^4 + 6*a^10*b^2)))*(a^8 + 57*b^8 - 436*a^2*b^6 + 110*a^4*b^4 + 28*a^6*b^2))/(a^10 + 9*b^10 + 22
9*a^2*b^8 + 250*a^4*b^6 + 42*a^6*b^4 + 13*a^8*b^2)^2)*(a^16 + b^16 + 8*a^2*b^14 + 28*a^4*b^12 + 56*a^6*b^10 +
70*a^8*b^8 + 56*a^10*b^6 + 28*a^12*b^4 + 8*a^14*b^2))/(4*a^5 - 12*a*b^4 + 24*a^3*b^2) + (((((8*(39*a^2*b^11 -
a^12*b + 123*a^4*b^9 + 134*a^6*b^7 + 54*a^8*b^5 + 3*a^10*b^3))/(a^12 + b^12 + 6*a^2*b^10 + 15*a^4*b^8 + 20*a^6
*b^6 + 15*a^8*b^4 + 6*a^10*b^2) + (16*a*b^3*((8*(6*a*b^14 + 2*a^15 - 10*a^3*b^12 - 90*a^5*b^10 - 138*a^7*b^8 -
62*a^9*b^6 + 18*a^11*b^4 + 18*a^13*b^2))/(a^12 + b^12 + 6*a^2*b^10 + 15*a^4*b^8 + 20*a^6*b^6 + 15*a^8*b^4 + 6
*a^10*b^2) - (128*a*b^3*(12*a^16*b + 12*a^2*b^15 + 84*a^4*b^13 + 252*a^6*b^11 + 420*a^8*b^9 + 420*a^10*b^7 + 2
52*a^12*b^5 + 84*a^14*b^3))/((4*a^6 + 4*b^6 + 12*a^2*b^4 + 12*a^4*b^2)*(a^12 + b^12 + 6*a^2*b^10 + 15*a^4*b^8
+ 20*a^6*b^6 + 15*a^8*b^4 + 6*a^10*b^2))))/(4*a^6 + 4*b^6 + 12*a^2*b^4 + 12*a^4*b^2))*(a^4 - 3*b^4 + 6*a^2*b^2
))/(2*(a^6 + b^6 + 3*a^2*b^4 + 3*a^4*b^2)) + ((a^4 - 3*b^4 + 6*a^2*b^2)^3*(12*a^16*b + 12*a^2*b^15 + 84*a^4*b^
13 + 252*a^6*b^11 + 420*a^8*b^9 + 420*a^10*b^7 + 252*a^12*b^5 + 84*a^14*b^3))/((a^6 + b^6 + 3*a^2*b^4 + 3*a^4*
b^2)^3*(a^12 + b^12 + 6*a^2*b^10 + 15*a^4*b^8 + 20*a^6*b^6 + 15*a^8*b^4 + 6*a^10*b^2)) + (16*a*b^3*((((8*(6*a*
b^14 + 2*a^15 - 10*a^3*b^12 - 90*a^5*b^10 - 138*a^7*b^8 - 62*a^9*b^6 + 18*a^11*b^4 + 18*a^13*b^2))/(a^12 + b^1
2 + 6*a^2*b^10 + 15*a^4*b^8 + 20*a^6*b^6 + 15*a^8*b^4 + 6*a^10*b^2) - (128*a*b^3*(12*a^16*b + 12*a^2*b^15 + 84
*a^4*b^13 + 252*a^6*b^11 + 420*a^8*b^9 + 420*a^10*b^7 + 252*a^12*b^5 + 84*a^14*b^3))/((4*a^6 + 4*b^6 + 12*a^2*
b^4 + 12*a^4*b^2)*(a^12 + b^12 + 6*a^2*b^10 + 15*a^4*b^8 + 20*a^6*b^6 + 15*a^8*b^4 + 6*a^10*b^2)))*(a^4 - 3*b^
4 + 6*a^2*b^2))/(2*(a^6 + b^6 + 3*a^2*b^4 + 3*a^4*b^2)) - (64*a*b^3*(a^4 - 3*b^4 + 6*a^2*b^2)*(12*a^16*b + 12*
a^2*b^15 + 84*a^4*b^13 + 252*a^6*b^11 + 420*a^8*b^9 + 420*a^10*b^7 + 252*a^12*b^5 + 84*a^14*b^3))/((4*a^6 + 4*
b^6 + 12*a^2*b^4 + 12*a^4*b^2)*(a^6 + b^6 + 3*a^2*b^4 + 3*a^4*b^2)*(a^12 + b^12 + 6*a^2*b^10 + 15*a^4*b^8 + 20
*a^6*b^6 + 15*a^8*b^4 + 6*a^10*b^2))))/(4*a^6 + 4*b^6 + 12*a^2*b^4 + 12*a^4*b^2))*(a^10 - 9*b^10 + 493*a^2*b^8
- 706*a^4*b^6 - 46*a^6*b^4 + 11*a^8*b^2)*(a^16 + b^16 + 8*a^2*b^14 + 28*a^4*b^12 + 56*a^6*b^10 + 70*a^8*b^8 +
56*a^10*b^6 + 28*a^12*b^4 + 8*a^14*b^2))/((4*a^5 - 12*a*b^4 + 24*a^3*b^2)*(a^10 + 9*b^10 + 229*a^2*b^8 + 250*
a^4*b^6 + 42*a^6*b^4 + 13*a^8*b^2)^2) - (2*a*b*((8*(8*a^5*b^6 - 60*a^3*b^8 + 4*a^7*b^4))/(a^12 + b^12 + 6*a^2*
b^10 + 15*a^4*b^8 + 20*a^6*b^6 + 15*a^8*b^4 + 6*a^10*b^2) + (((((8*(6*a*b^14 + 2*a^15 - 10*a^3*b^12 - 90*a^5*b
^10 - 138*a^7*b^8 - 62*a^9*b^6 + 18*a^11*b^4 + 18*a^13*b^2))/(a^12 + b^12 + 6*a^2*b^10 + 15*a^4*b^8 + 20*a^6*b
^6 + 15*a^8*b^4 + 6*a^10*b^2) - (128*a*b^3*(12*a^16*b + 12*a^2*b^15 + 84*a^4*b^13 + 252*a^6*b^11 + 420*a^8*b^9
+ 420*a^10*b^7 + 252*a^12*b^5 + 84*a^14*b^3))/((4*a^6 + 4*b^6 + 12*a^2*b^4 + 12*a^4*b^2)*(a^12 + b^12 + 6*a^2
*b^10 + 15*a^4*b^8 + 20*a^6*b^6 + 15*a^8*b^4 + 6*a^10*b^2)))*(a^4 - 3*b^4 + 6*a^2*b^2))/(2*(a^6 + b^6 + 3*a^2*
b^4 + 3*a^4*b^2)) - (64*a*b^3*(a^4 - 3*b^4 + 6*a^2*b^2)*(12*a^16*b + 12*a^2*b^15 + 84*a^4*b^13 + 252*a^6*b^11
+ 420*a^8*b^9 + 420*a^10*b^7 + 252*a^12*b^5 + 84*a^14*b^3))/((4*a^6 + 4*b^6 + 12*a^2*b^4 + 12*a^4*b^2)*(a^6 +
b^6 + 3*a^2*b^4 + 3*a^4*b^2)*(a^12 + b^12 + 6*a^2*b^10 + 15*a^4*b^8 + 20*a^6*b^6 + 15*a^8*b^4 + 6*a^10*b^2)))*
(a^4 - 3*b^4 + 6*a^2*b^2))/(2*(a^6 + b^6 + 3*a^2*b^4 + 3*a^4*b^2)) - (16*a*b^3*((8*(39*a^2*b^11 - a^12*b + 123
*a^4*b^9 + 134*a^6*b^7 + 54*a^8*b^5 + 3*a^10*b^3))/(a^12 + b^12 + 6*a^2*b^10 + 15*a^4*b^8 + 20*a^6*b^6 + 15*a^
8*b^4 + 6*a^10*b^2) + (16*a*b^3*((8*(6*a*b^14 + 2*a^15 - 10*a^3*b^12 - 90*a^5*b^10 - 138*a^7*b^8 - 62*a^9*b^6
+ 18*a^11*b^4 + 18*a^13*b^2))/(a^12 + b^12 + 6*a^2*b^10 + 15*a^4*b^8 + 20*a^6*b^6 + 15*a^8*b^4 + 6*a^10*b^2) -
(128*a*b^3*(12*a^16*b + 12*a^2*b^15 + 84*a^4*b^13 + 252*a^6*b^11 + 420*a^8*b^9 + 420*a^10*b^7 + 252*a^12*b^5
+ 84*a^14*b^3))/((4*a^6 + 4*b^6 + 12*a^2*b^4 + 12*a^4*b^2)*(a^12 + b^12 + 6*a^2*b^10 + 15*a^4*b^8 + 20*a^6*b^6
+ 15*a^8*b^4 + 6*a^10*b^2))))/(4*a^6 + 4*b^6 + 12*a^2*b^4 + 12*a^4*b^2)))/(4*a^6 + 4*b^6 + 12*a^2*b^4 + 12*a^
4*b^2) - (32*a*b^3*(a^4 - 3*b^4 + 6*a^2*b^2)^2*(12*a^16*b + 12*a^2*b^15 + 84*a^4*b^13 + 252*a^6*b^11 + 420*a^8
*b^9 + 420*a^10*b^7 + 252*a^12*b^5 + 84*a^14*b^3))/((4*a^6 + 4*b^6 + 12*a^2*b^4 + 12*a^4*b^2)*(a^6 + b^6 + 3*a
^2*b^4 + 3*a^4*b^2)^2*(a^12 + b^12 + 6*a^2*b^10 + 15*a^4*b^8 + 20*a^6*b^6 + 15*a^8*b^4 + 6*a^10*b^2)))*(a^8 +
57*b^8 - 436*a^2*b^6 + 110*a^4*b^4 + 28*a^6*b^2)*(a^16 + b^16 + 8*a^2*b^14 + 28*a^4*b^12 + 56*a^6*b^10 + 70*a^
8*b^8 + 56*a^10*b^6 + 28*a^12*b^4 + 8*a^14*b^2))/((4*a^5 - 12*a*b^4 + 24*a^3*b^2)*(a^10 + 9*b^10 + 229*a^2*b^8
+ 250*a^4*b^6 + 42*a^6*b^4 + 13*a^8*b^2)^2))*(a^4 - 3*b^4 + 6*a^2*b^2))/(d*(a^6 + b^6 + 3*a^2*b^4 + 3*a^4*b^2
)) - (16*a*b^3*log(((32*a^3*b^4*(a^4 - 15*b^4 + 2*a^2*b^2))/(a^2 + b^2)^6 - ((-(a^4 - 3*b^4 + 6*a^2*b^2)^2/(a^
2 + b^2)^6)^(1/2)/2 - (4*a*b^3)/(a^2 + b^2)^3)*(((-(a^4 - 3*b^4 + 6*a^2*b^2)^2/(a^2 + b^2)^6)^(1/2)/2 - (4*a*b
^3)/(a^2 + b^2)^3)*((16*a*(a^6 + 3*b^6 - 17*a^2*b^4 + 5*a^4*b^2))/(a^2 + b^2)^2 + (32*a^2*b*tan(c/2 + (d*x)/2)
*(a^4 + b^4 + 14*a^2*b^2))/(a^2 + b^2)^2 + 96*a*b*((-(a^4 - 3*b^4 + 6*a^2*b^2)^2/(a^2 + b^2)^6)^(1/2)/2 - (4*a
*b^3)/(a^2 + b^2)^3)*(a + b*tan(c/2 + (d*x)/2))*(a^2 + b^2)) - (8*a^2*b*(39*b^4 - a^4 + 6*a^2*b^2))/(a^2 + b^2
)^3 + (8*a*tan(c/2 + (d*x)/2)*(a^8 + 18*b^8 - 177*a^2*b^6 + 9*a^4*b^4 + 13*a^6*b^2))/(a^2 + b^2)^4) + (32*a^2*
b^3*tan(c/2 + (d*x)/2)*(a^6 + 18*b^6 + 13*a^2*b^4 + 12*a^4*b^2))/(a^2 + b^2)^6)*((32*a^3*b^4*(a^4 - 15*b^4 + 2
*a^2*b^2))/(a^2 + b^2)^6 - ((-(a^4 - 3*b^4 + 6*a^2*b^2)^2/(a^2 + b^2)^6)^(1/2)/2 + (4*a*b^3)/(a^2 + b^2)^3)*((
(-(a^4 - 3*b^4 + 6*a^2*b^2)^2/(a^2 + b^2)^6)^(1/2)/2 + (4*a*b^3)/(a^2 + b^2)^3)*((16*a*(a^6 + 3*b^6 - 17*a^2*b
^4 + 5*a^4*b^2))/(a^2 + b^2)^2 + (32*a^2*b*tan(c/2 + (d*x)/2)*(a^4 + b^4 + 14*a^2*b^2))/(a^2 + b^2)^2 - 96*a*b
*((-(a^4 - 3*b^4 + 6*a^2*b^2)^2/(a^2 + b^2)^6)^(1/2)/2 + (4*a*b^3)/(a^2 + b^2)^3)*(a + b*tan(c/2 + (d*x)/2))*(
a^2 + b^2)) + (8*a^2*b*(39*b^4 - a^4 + 6*a^2*b^2))/(a^2 + b^2)^3 - (8*a*tan(c/2 + (d*x)/2)*(a^8 + 18*b^8 - 177
*a^2*b^6 + 9*a^4*b^4 + 13*a^6*b^2))/(a^2 + b^2)^4) + (32*a^2*b^3*tan(c/2 + (d*x)/2)*(a^6 + 18*b^6 + 13*a^2*b^4
+ 12*a^4*b^2))/(a^2 + b^2)^6)))/(d*(4*a^6 + 4*b^6 + 12*a^2*b^4 + 12*a^4*b^2)) + (4*a*b^3*log(a + 2*b*tan(c/2
+ (d*x)/2) - a*tan(c/2 + (d*x)/2)^2))/(d*(a^6 + b^6 + 3*a^2*b^4 + 3*a^4*b^2))